接線と法線

接線と法線

　基本となるのは、既に学習している『1点を通り、傾き$m$の直線』の方程式である。

接線の方程式

関数$y=f(x)$上の点$A(a,f(a))$における接線について考える。

微分係数の定義から、その傾きは$f^{\prime }(a)$である。(定義が不安な人はこちら：微分係数の定義と意味）
よって、点$A$における接線の方程式は
$\mathit{y}\mathbf{-}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{=}{\mathit{f}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathit{a}\mathbf{)}$ $\iff y=f^{\prime }(a)\cdot x+(f(a)-a{f}^{\prime }(a))$
である。

法線の方程式

関数$y=f(x)$上の点$A(a,f(a))$における接線と直交する直線を法線と呼ぶ。

直交する2つの直線において、その傾きの積が$-1$となることから、点$A$における法線の方程式は
➀ $f^{\prime }(a)=0$のとき、$x=a$
➁ $f^{\prime }(a)\ne 0$のとき、
$\mathit{y}\mathbf{-}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{{\mathit{f}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}}}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathit{a}\mathbf{)}$ $\iff y=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(a)}}x+(f(a)+{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(a)}}a)$
である。

◎実際に以下の例題を解いて接線・法線の求め方を確認してほしい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

(1)　曲線：$y=x^3-4x$上の$x=-1$の点における接線の方程式を求めよ。
(2)　曲線：$y=x^2+3x-2$の接線のうち、傾きが5であるものの方程式を求めよ。
(3)　曲線：$y=x^2$の接線のうち、$\mathrm{点}(0,-1)$を通るものの方程式と接点の座標を求めよ。また、接点における法線の方程式を示せ。

≪解答・解説≫

接線を求める問題は、接点が既知か否かでパターン分けできる。
(1)は曲線上の点における接線を求める、接点が既知のパターン
(3)は曲線外から引いた接線を求める、接点が不明のパターン
である。

(1)
$y=(-1{)}^3-4\cdot (-1)=3$より、接点は$(-1,3)$
$y^{\prime }=3x^2-4$より、接線の傾きは$3\cdot (-1{)}^2-4=-1$
よって、求める接線の方程式は
$y-3=-1\cdot \{x-(-1)\}\iff \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}$

(2)
$y^{\prime }=2x+3=5\iff x=1$
$y=1^2+3\cdot 1-2=2$より、接点は$(1,2)$
よって、求める接線の方程式は
$y-2=5(x-1)\iff \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}$

(3)
$y=x^2$上の接点を$A(a,a^2)$とする。
$y^{\prime }=2x$より、点$A$における接線は
$y-a^2=2a(x-a)\iff y=2ax-a^2$
これが点$(0,-1)$を通ることから、
$-1=2a\cdot 0-a^2\iff a=\pm 1$
よって、
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{}\mathrm{接}\mathrm{点}:(\mathbf{1},\mathbf{1})\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、\mathrm{接}\mathrm{線}:\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1},\mathrm{法}\mathrm{線}:\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathit{x}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}\\ \mathrm{接}\mathrm{点}:(\mathbf{-}\mathbf{1},\mathbf{1})\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、\mathrm{接}\mathrm{線}:\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1},\mathrm{法}\mathrm{線}:\mathit{y}\mathbf{=}{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathit{x}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}\end{array}\end{array}$