対称式

対称式について記述は、教科書では非常に軽い。しかし、受験においてとても重要である。是非きちんと理解をしておいてほしい。

対称式

対称式の定義

2変数対称式　2つの変数を入れ替えても変わらない(元の式と同じ式になる)式
【例】　$x^2+y^2$, $x^3+2xy+y^3$ など

3変数対称式　3つの変数のうち、どの2つを入れ替えても変わらない(元の式と同じ式になる)式
【例】　$x^2+y^2+z^2$, $(x+y+z)^2-2xyz$ など

当然、4変数以上の対称式も存在するが、試験で見かけることはほぼない。

対称式の性質

全ての対称式は、以下の基本対称式のみを用いて表すことができる。

2変数基本対称式　$x+y$, $xy$
3変数基本対称式　$x+y+z$, $xy+yz+zx$, $xyz$

基本対称式は、容易に得られる(あるいはもともと与えられている)ことが多い。これらを効果的に利用して、式を表現することが頻繁に求められる。
以下に示す変形式については、公式として覚えておくようにしてほしい。

頻出の式変形

$[1]\qquad x^2+y^2=\textcolor{palevioletred}{(x+y)}^2-2\textcolor{cornflowerblue}{xy}$
$[2]\qquad x^3+y^3=\textcolor{palevioletred}{(x+y)}^3-3\textcolor{cornflowerblue}{xy}\textcolor{palevioletred}{(x+y)}$
$[3]\qquad x^2+y^2+z^2=\textcolor{palevioletred}{(x+y+z)}^2-2\textcolor{cornflowerblue}{(xy+yz+zx)}$
$\begin{eqnarray} [4]&\ & \ \ x^3+y^3+z^3\\ &=& \textcolor{palevioletred}{(x+y+z)}(x^2+y^2+z^2\textcolor{cornflowerblue}{-xy-yz-zx})+3\textcolor{limegreen}{xyz}\quad \cdots ➀\\ &=& \textcolor{palevioletred}{(x+y+z)}^3-3\textcolor{palevioletred}{(x+y+z)}\textcolor{cornflowerblue}{(xy+yz+zx)}+3\textcolor{limegreen}{xyz}\quad \cdots ➁\end{eqnarray}$

$[5]\qquad x^2+\dfrac{1}{x^2}=\textcolor{palevioletred}{\left( x+\dfrac{1}{x}\right) }^2-2$
$[6]\qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}=\textcolor{palevioletred}{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)}^3-3\textcolor{palevioletred}{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)}$

※$[1]$～$[4]$は展開や因数分解で出てきた公式を変形したもの。$[4]$は➀で覚えておけばよいが、それでも覚えにくいので要注意。
※$[5]$, $[6]$はそれぞれ$[1]$, $[2]$において$y=\dfrac{1}{x}$としたもの。$xy=x\cdot \dfrac{1}{x}=1$ となり、$x+\dfrac{1}{x}$ のみで表される。

いずれも容易に導出できるので、あえて覚える必要を感じないかもしれない。しかし、利用頻度を考えるとその都度導出するのは効率が悪い。公式として覚えておくようにしたい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

[1]　$x=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}},\ \ y=\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}$ のとき、次の値を求めよ。

(1)　$x+y$

(2)　$xy$

(3)　$x^2+y^2$

(4)　$x^3+y^3$


[2]　$x+\dfrac{1}{x}=3$ のとき、次の値を求めよ。

(1)　$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

(2)　$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

(3)　$x^5+\dfrac{1}{x^5}$


[3]　$x+y+x=3$, $xy+yz+zx=3$, $xyz=5$ のとき、次の値を求めよ。

(1)　$x^2+y^2+z^2$

(2)　$x^3+y^3+z^3$


[4]　$x+y=8$, $y+z=10$, $z+x=12$ のとき、次の値を求めよ。

(1)　$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

(2)　$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$

≪解答・解説≫

[1]
(1)　※2変数基本対称式
$\begin{eqnarray} &\ &x+y\\[5pt] &=&\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}+\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{2(1-\sqrt{5})+2(1+\sqrt{5})}{1-5}\\[5pt] &=&\dfrac{4}{-4}\\[5pt] &=&\boldsymbol{-1} \end{eqnarray}$

(2)　※2変数基本対称式
$\begin{eqnarray} &\ &xy\\[5pt] &=&\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\cdot \dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{4}{1-5}\\[5pt] &=&\boldsymbol{-1} \end{eqnarray}$

(3)　※式変形公式$[1]$
$\begin{eqnarray} &\ &x^2+y^2\\[5pt] &=&(x+y)^2-2xy\\[5pt] &=&(-1)^2-2\cdot(-1)\quad (\ \because (1),\ (2)\ より)\\[5pt] &=&\boldsymbol{3} \end{eqnarray}$

(4)　※式変形公式$[2]$
$\begin{eqnarray} &\ &x^3+y^3\\[5pt] &=&(x+y)^3-3xy(x+y)\\[5pt] &=&(-1)^3-3\cdot(-1)\cdot(-1)\quad (\ \because (1),\ (2)\ より)\\[5pt] &=&\boldsymbol{-4} \end{eqnarray}$

【別解】※因数分解の公式を利用する
$\begin{eqnarray} &\ &x^3+y^3\\[5pt] &=&(x+y)(x^2-xy+y^2)\\[5pt] &=&(x+y)(x^2+y^2-xy)\\[5pt] &=&(-1)\{3-(-1)\}\quad (\ \because (1),\ (2),\ (3)\ より)\\[5pt] &=&\boldsymbol{-4} \end{eqnarray}$


[2]
(1)　※式変形公式$[5]$
$\begin{eqnarray} &\ &x^2+\dfrac{1}{x^2}\\[5pt] &=&\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\\[5pt] &=&3^2-2\\[5pt] &=&\boldsymbol{7} \end{eqnarray}$

(2)　※式変形公式$[6]$
$\begin{eqnarray} &\ &x^3+\dfrac{1}{x^3}\\[5pt] &=&\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left( x+\dfrac{1}{x}\right)\\[5pt] &=&3^3-3\cdot 3\\[5pt] &=&\boldsymbol{18} \end{eqnarray}$

(3)
$\begin{eqnarray} &\ &x^5+\dfrac{1}{x^5}\\[5pt] &=&\left( x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left( x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-x^2\left( \dfrac{1}{x}\right)^2 \left( x+\dfrac{1}{x}\right)\\[5pt] &\ &\qquad (\ \because \ 応用公式：\textcolor{hotpink}{x^{n+2}+y^{n+2}=(x^{n+1}+y^{n+1})(x+y)-xy(x^n+y^n)}\ より)\\[5pt] &=&7\cdot 18-3\qquad (\ \because (1),\ (2)\ より)\\[5pt] &=&\boldsymbol{123} \end{eqnarray}$


[3]
(1)　※式変形公式$[3]$
$\begin{eqnarray} &\ &x^2+y^2+z^2\\[5pt] &=&(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\[5pt] &=&3^2-2\cdot 3\\[5pt] &=&\boldsymbol{3} \end{eqnarray}$

(2)　※式変形公式$[4]-➀$
$\begin{eqnarray} &\ &x^3+y^3+z^3\\[5pt] &=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz\\[5pt] &=&3(3-3)+3\cdot 5\quad (\ \because (1) より)\\[5pt] &=&\boldsymbol{15} \end{eqnarray}$

【別解】※式変形公式$[4]-➁$
$\begin{eqnarray} &\ &x^3+y^3+z^3\\[5pt] &=&(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz\\[5pt] &=&3^3-3\cdot 3\cdot 3+3\cdot 5\\[5pt] &=&\boldsymbol{15} \end{eqnarray}$


[4]
(1)※一度展開して整理する。このときに、$y+z=A$, $yz=B$ として“$x$についての式”として展開できると後がやりやすい。
$\textcolor{palevioletred}{y+z=A}$, $\textcolor{cornflowerblue}{yz=B}$ とする。
$\begin{eqnarray} &\ &(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\[5pt] &=&(x+\textcolor{palevioletred}{A})(x\textcolor{palevioletred}{A}+\textcolor{cornflowerblue}{B})-x\textcolor{cornflowerblue}{B}\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{A}x^2+(\textcolor{palevioletred}{A^2}+\textcolor{cornflowerblue}{B}-\textcolor{cornflowerblue}{B})x+\textcolor{palevioletred}{A}\textcolor{cornflowerblue}{B}\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{A}(x^2+\textcolor{palevioletred}{A}x+\textcolor{cornflowerblue}{B})\\[5pt] &=&(\textcolor{palevioletred}{y+z})\{x^2+(\textcolor{palevioletred}{y+z})x+\textcolor{cornflowerblue}{yz}\}\\[5pt] &=&(\textcolor{palevioletred}{y+z})(\textcolor{cornflowerblue}{x+y})(\textcolor{cornflowerblue}{x+z})\\[5pt] &=&10\cdot 8\cdot 12\\[5pt] &=&\boldsymbol{960} \end{eqnarray}$

(2)
$\begin{eqnarray} &\ &(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\[5pt] &=&\{x+(y+z)\}^3-x^3-y^3-z^3\\[5pt] &=&\cancel{x^3}+3x^2(y+z)+3x(y+z)^2+(y+z)^3-\cancel{x^3}-y^3-z^3\\[5pt] &=&3x^2(y+z)+3x(y+z)^2+\cancel{y^3}+3y^2z+3yz^2+\bcancel{z^3}-\cancel{y^3}-\bcancel{z^3}\\[5pt] &=&3(y+z)\{x^2+x(y+z)+yz\}\\[5pt] &=&3(y+z)(x+y)(x+z)\\[5pt] &=&3\cdot 10\cdot 8\cdot 12\\[5pt] &=&\boldsymbol{2880} \end{eqnarray}$

[4]【別解】※数Ⅱで学習する因数定理を用いて次のように解くこともできる。こちらの方が簡潔であり、本質的である。因数定理を学習済みの人は、こちらの解答をさっと思いつけるように練習を重ねてほしい。
(1)
$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$ に、$\textcolor{cornflowerblue}{x=-y}$ を代入すると
$\begin{eqnarray} &\ &(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\[5pt] &=&(\textcolor{cornflowerblue}{-y}+y+z)(\textcolor{cornflowerblue}{-y}y+yz+z\textcolor{cornflowerblue}{-y})-\textcolor{cornflowerblue}{-y}yz\\[5pt] &=&z(-y^2)-(-y^2z)\\[5pt] &=&\textcolor{hotpink}{0} \end{eqnarray}$
よって、$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$ は$\textcolor{hotpink}{(x+y)を因数に持つ}$ことになり、式の対称性から、$(y+z)$, $(z+x)$ も因数に持つ。
これと、$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$ が3次式であることより
$\begin{eqnarray} &\ &(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\[5pt] &=&\textcolor{hotpink}{k(x+y)(y+z)(z+x)\qquad (k：定数)} \end{eqnarray}$
とできる。これに、$\textcolor{limegreen}{x=1,\ y=1,\ z=1}$ を代入すると
$(1+1+1)(1+1+1)-1=k\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ となるから、$\textcolor{hotpink}{k=1}$

$\begin{eqnarray} &\therefore &\\ &\ &(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\[5pt] &=&(x+y)(y+z)(z+x)\\[5pt] &=&10\cdot 8\cdot 12\\[5pt] &=&\boldsymbol{960} \end{eqnarray}$

(2)※基本的に(1)と同じ流れである。(1)ではかなり詳しく記述したが、ここではもう少し簡潔に記述する。
$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$ が3次の対称式であり、$\textcolor{cornflowerblue}{x=-y}$ を代入すると値が $\textcolor{hotpink}{0}$ となるこから、
$\begin{eqnarray} &\ &(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\[5pt] &=&\textcolor{hotpink}{k(x+y)(y+z)(z+x)\qquad (k：定数)} \end{eqnarray}$
とできる。
これに、$\textcolor{limegreen}{x=1,\ y=1,\ z=1}$ を代入すると
$3^3-1-1-1=k\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ となるから、$\textcolor{hotpink}{k=3}$
$\begin{eqnarray} &\therefore &\\ &\ &(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\[5pt] &=&3(x+y)(y+z)(z+x)\\[5pt] &=&3\cdot 10\cdot 8\cdot 12\\[5pt] &=&\boldsymbol{2880} \end{eqnarray}$