平方根

2乗の平方根（$\sqrt{a^2}$）とその外し方

平方根の定義

中学で学んでいる内容であるが、平方根については次のようなミスが非常に多い。
$\textcolor{red}{\times}\ \sqrt{(-2)^2}=-2$　　$\textcolor{red}{\times}\ \sqrt{4}=\pm2$

これらは、$A$の平方根とルート$A（ \sqrt{A}） $ を混同していることにある。

以下に平方根の定義をまとめる。正しく理解できているか、もう一度確認してほしい。

$A\ (\ \geqq0\ )$の平方根
　2乗すると $A$ になる数を $A$ の平方根といい、正のものと負のものの2個存在する。
　これらのうち、正の方を $\sqrt{A}$、負の方を $-\sqrt{A}$ と表す。
　また、$0$ の平方根は $0$ のみであるから、$\sqrt{0}=0$ と定める。

　例　 $4$ の平方根（2乗すると $4$ になる数）は、正の方が $\sqrt{4}=2$、負の方が $-\sqrt{4}=-2$である。

実数範囲を考えるとき、負の数 $B$ の平方根（2乗すると $B$ になる数）は存在しない。
このため、$\sqrt{A}$ が存在するとき、$A$ は $0$ 以上のはずである。また、2個の平方根のうち正の方を $\sqrt{A}$ とするのだか、らこれも必ず $0$ 以上である。
つまり、$\sqrt{A}\geqq0$ かつ $A\geqq0$ が必ず成り立つのである。

$a^2$ の平方根

次に、$a^2$ の平方根について考えてみよう。
$\sqrt{a^2}$ は、2乗して $a^2$ となる数のうち正の方を表すから、$\textcolor{palevioletred}{\sqrt{a^2}\geqq0}$ でなければならない。
2乗して $a^2$ となる数には $+a$ と $-a$ が存在する。$\sqrt{a^2}$ はこのうち正の方のことなのだから、$a\geqq0$ のときは $a$ であり $a\lt0$ のときは $-a$ である。
例　$\sqrt{5^2}=5$, $\sqrt{(-5)^2}=-(-5)=5$

このことから、
$\bbox[, 5pt, border:2px dotted hotpink]{\begin{eqnarray} \textcolor{palevioletred}{\sqrt{a^2}} &=&\textcolor{palevioletred}{\left| a \right|}\\[3pt] &=& \begin{cases} \textcolor{palevioletred}{\phantom{+}a}\quad (\textcolor{cornflowerblue}{a\geqq 0})\\\textcolor{palevioletred}{ -a}\quad (\textcolor{cornflowerblue}{a\lt 0}) \end{cases} \end{eqnarray}}$
となる。
“2乗の平方根をはずすときは絶対値をつけて外す”ことをしっかりと意識してもらいたい。

分母の有理化

分母に $\sqrt{A}$ を含む分数では、分母から 根号（$\sqrt{\phantom{0}}$） がなくなるように変形しておくのが基本である。この変形操作のことを有理化と呼ぶ。
中学で基本的なことは学習済みであるが、

$\dfrac{B}{\sqrt{A}}=\dfrac{B\textcolor{palevioletred}{\sqrt{A}}}{\sqrt{A}\cdot\textcolor{palevioletred}{\sqrt{A}}}=\dfrac{B\sqrt{A}}{A}$

のように、分子・分母の両方に $\sqrt{A}$ を掛ければよかった。

有理化は非常によく行う処理である。例題を通して、もう少し複雑な場合にもきちんと有理化を進めることができるように、慣れていってほしい。

例題に挑戦しよう

≪問題－1≫

次の場合において、$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{9x^2+18x+9}$ を簡単にせよ。
(1)　$x\lt -1$
(2)　$-1\leqq x\lt 2$
(3)　$2\leqq x$

≪解答・解説≫

$\begin{eqnarray} &\ &\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{9x^2+18x+9}\\[3pt] &=&\sqrt{(x-2)^2}+3\sqrt{(x+1)^2}\\[3pt] &=&\left|x-2\right|+3\left|x+1\right|\quad\cdots\cdots➀ \end{eqnarray}$

(1)　$x\lt -1$のとき、➀より
$\begin{eqnarray} &\ &\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{9x^2+18x+9}\\[3pt] &=&\left|x-2\right|+3\left|x+1\right|\\[3pt] &=&-(x-2)+3\{-(x+1)\}\\[3pt] &=&\boldsymbol{-4x-1} \end{eqnarray}$

(2)　$-1\leqq x\lt 2$のとき、➀より
$\begin{eqnarray} &\ &\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{9x^2+18x+9}\\[3pt] &=&\left|x-2\right|+3\left|x+1\right|\\[3pt] &=&-(x-2)+3(x+1)\\[3pt] &=&\boldsymbol{2x+5} \end{eqnarray}$

(3)　$2\leqq x$のとき、➀より
$\begin{eqnarray} &\ &\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{9x^2+18x+9}\\[3pt] &=&\left|x-2\right|+3\left|x+1\right|\\[3pt] &=&(x-2)+3(x+1)\\[3pt] &=&\boldsymbol{4x+1} \end{eqnarray}$

≪問題－2≫

次の式の分母を有理化せよ。

(1)　$\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}$

(2)　$\dfrac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

(3)　$\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

(4)　$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

(5)　$\dfrac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}+3\sqrt{2}+\sqrt{15}}$

≪解答・解説≫

(1)※中学内容の復習。分子・分母に $\sqrt{5}$ を掛ける。
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{(\sqrt{5}-1)\textcolor{palevioletred}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\cdot\textcolor{palevioletred}{\sqrt{5}}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}} \end{eqnarray}$


(2)※分数の計算では、約分できる場合はまず約分してしまうのが鉄則である。
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}\\[5pt] &=&\dfrac{\cancel{\textcolor{limegreen}{\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\textcolor{limegreen}{\sqrt{3}}}(1-\sqrt{2})}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}\textcolor{palevioletred}{(1+\sqrt{2})}}{(1-\sqrt{2})\textcolor{palevioletred}{(1+\sqrt{2})}}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\[5pt] &=&\boldsymbol{-\sqrt{3}-\sqrt{6}} \end{eqnarray}$


(3)※このタイプは、先に通分してしまう方が楽な場合が多い。
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}\\[5pt] &=&\dfrac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})\textcolor{palevioletred}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})}-(\sqrt{7}-\sqrt{5})\textcolor{cornflowerblue}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})}}{\textcolor{cornflowerblue}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})}\textcolor{palevioletred}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})}}\\[5pt] &=&\dfrac{\{(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})\}\{(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})\}}{7-5}\\[5pt] &=&\dfrac{2\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{5}}{2}\\[5pt] &=&\boldsymbol{2\sqrt{35}} \end{eqnarray}$


(4)※分母が3項以上の場合、2項を一カタマリとして考える。どこをカタマリにするかは自由であるが、後の計算ができるだけ楽になるように組み合わせを選ぶことが大切である。
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+\sqrt{7}}\\[5pt] &=&\dfrac{1\cdot\textcolor{palevioletred}{\{(\sqrt{3}+\sqrt{5})-\sqrt{7}\}}}{\{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+\sqrt{7}\}\textcolor{palevioletred}{\{(\sqrt{3}+\sqrt{5})-\sqrt{7}\}}}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2-7}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{2\sqrt{15}+1}\\[5pt] &=&\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})\textcolor{cornflowerblue}{(2\sqrt{15}-1)}}{(2\sqrt{15}+1)\textcolor{cornflowerblue}{(2\sqrt{15}-1)}}\\[5pt] &=&\dfrac{6\sqrt{5}-\sqrt{3}+10\sqrt{3}-\sqrt{5}-2\sqrt{105}+\sqrt{7}}{4\cdot 15-1}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{5}+9\sqrt{3}-2\sqrt{105}+\sqrt{7}}{59}} \end{eqnarray}$


(5)※分母を因数分解することで、計算量を大きく減らせるパターンである。因数分解に気付かなかった場合や、そもそも因数分解できない場合は(4)と同様に、2項を一カタマリとして考える。
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}+3\sqrt{2}+\sqrt{15}}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{\textcolor{palevioletred}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}\textcolor{cornflowerblue}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})}}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}\\[5pt] &=&\dfrac{1\cdot(\textcolor{hotpink}{\sqrt{2}-\sqrt{3}})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\textcolor{hotpink}{\sqrt{2}-\sqrt{3}})}\cdot\dfrac{1\cdot(\textcolor{limegreen}{\sqrt{5}-\sqrt{6}})}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\textcolor{limegreen}{\sqrt{5}-\sqrt{6}})}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{5-6}\\[5pt] &=&(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{6})\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{10}-2\sqrt{3}-\sqrt{15}+3\sqrt{2}} \end{eqnarray}$