1次不等式の解の個数と存在条件

1次不等式の解の個数と存在条件

1次不等式の解の存在条件

1次不等式に解が存在する条件を考えていこう。

[1]　$a\lt x\lt b$ を満たす $x$ が存在する $\Leftrightarrow$ $a\lt b$
[2]　$a\lt b,\ c\lt d$ のとき、
　　 $a\lt x\lt b$ 且つ $c\lt x\lt d$ を満たす $x$ が存在する
　$\Leftrightarrow$ $a\lt d$ 且つ $c\lt b$

このように書かれると難しく感じるかもしれない。
しかし、“$10\lt x\lt 1$” や “$1\lt x\lt 2$ 且つ $10\lt x\lt 20$” “$5\lt x\lt 10$ 且つ $0\lt x\lt 2$” になるような実数 $x$ はあり得ない。
つまり、上の[1],[2]は当然のことを言っているだけである。

1次不等式の整数解の個数

1次不等式の整数解の個数についての問題を考える際には、問題ごとに数直線を書いて条件を考察することが必要である。
このとき、等号を含むかどうかについての判断を極めて慎重に行うことが重要である。

※このタイプの問題は、等号の有無についてのミスをする人が極めて多い。等号が成立するかどうかの確認は丁寧すぎるくらいにきちんとするように心がけてほしい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

[1]　次の不等式を満たすような実数 $x$ が存在するように、定数 $a$ の範囲を定めよ。
(1)　$4a+3\lt x\lt 7-3a$

(2)　$\begin{cases}a+1\lt x\lt 2a-4\\[3pt]|x-3a|\lt 5\end{cases}$


[2]　次の不等式を満たす整数がちょうど3個存在するとき、定数 $a$ の範囲を求めよ。
(1)　$1\lt x\leqq a$

(2)　$\begin{cases}0\lt x\lt 8\\[3pt]|x-a|\leqq 4\end{cases}$

(3)　$\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\lt a$

≪解答・解説≫

[1]
(1)※[1]による
$4a+3\lt 7-3a$ より、
$\boldsymbol{a\lt\dfrac{4}{7}}$

(2)※[2]による
$|x-3a|\lt 5\ \Leftrightarrow\ -5\lt x-3a\lt 5$ であるから、
$x$ の存在条件は、
$a+1\lt 3a+5$ 且つ $3a-5\lt 2a-4$
$\therefore$　$\boldsymbol{-2\lt a\lt 1}$

[2]
(1)
$\boldsymbol{4\leqq a\lt 5}$

(2)
$\begin{eqnarray} &\ &|x-a|\leqq 4\\[3pt] &\Leftrightarrow&\ -4\leqq x-a\leqq 4\\[3pt] &\Leftrightarrow&\ a-4\leqq x\leqq a+4 \end{eqnarray}$

であるから、$3\leqq a+4\lt 4$ 又は $4\lt a-4\leqq 5$

$\therefore$　$\boldsymbol{-1\leqq a\lt 0,\ 8\lt a\leqq 9}$

(3)
$\begin{eqnarray} &\ &\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\lt a\\[5pt] &\Leftrightarrow&\ -a\lt x-\dfrac{3}{5}\lt a\\[5pt] &\Leftrightarrow&\ \dfrac{3}{5}-a\lt x\lt\dfrac{3}{5}+a \end{eqnarray}$

よって、$-1\leqq \dfrac{3}{5}-a\lt 0$ 且つ $2\lt\dfrac{3}{5}+a\leqq 3$

つまり、$\dfrac{3}{5}\lt a\leqq\dfrac{8}{5}$ 且つ $\dfrac{7}{5}\lt a\leqq\dfrac{12}{5}$

　$\therefore$　$\boldsymbol{\dfrac{7}{5}\lt a\leqq\dfrac{8}{5}}$