整式の加法・減法・乗法と指数法則

整式の加法・減法・乗法と指数法則

整式の加法・減法・乗法

整式の計算においては、実数のときと同様に以下の計算法則が成立する。 いずれも中学で学習済みであるがここでその内容を確認しておきたい。

交換法則　　$A+B=B+A$ / $AB=BA$
　加法や乗法のみであらわされる計算において、その順序によらず結果が同じになる。
　当然のように思えるかもしれないが、決して当たり前ではないことに注意が必要である。実際、減法や除法では成り立たない。($\ A-B\neq B-A$ / $A\div B\neq B\div A\ $)

結合法則　　$(A+B)＋C=A+(B+C)$ / $(AB)C=A(BC)$
　3つ以上の数による、加法や乗法のみであらわされる計算において、どの部分から計算し始めても計算結果は同じである。
　これも当然のように思えるかもしれないが、決して当たり前ではなく減法や除法では成り立たない。

分配法則　　$A(B+C)=AB+AC$ / $(A+B)C=AC+BC$
(　)で括られた和と別の数・式の積の形の計算において、括弧内のそれぞれの項に掛け算を分配することができる。

累乗と指数法則

　同じ文字や数を複数掛け合わせることやその積を累乗といい、$a\ $を$\ n\ $個掛け合わせた場合、$\displaystyle \overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a}^{n個}=a^n$ と書き$\ a\ $の$\ n\ $乗という。 このとき、繰り返し掛ける数($a$)を底、右上に書いた数($n$)を指数と呼ぶ。

$a\ > 0,\ b\ > 0\ $の実数であり、 $m,\ n\ $が自然数であるとき、以下の指数法則が成り立つ。
①$\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

➁$\quad (a^{m})^{n}=a^{mn}$

➂$\quad (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

　指数法則は以下のように拡張することができる。数Ⅱの学習範囲ではあるが、ここで合わせて示しておく。

$a\ \neq 0,\ b\ \neq 0\ $の実数であり $m,\ n\ $が実数であるとき、以下の指数法則が成り立つ。
[1]$\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

[2]$\quad a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

[3]$\quad (a^{m})^{n}=a^{mn}$

[4]$\quad (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

[5]$\quad \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

[6]$\quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

[7]$\quad a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}$

[8]$\quad a^{0}=1$

以下で、[6]～[8]について実際に導出してみる。

指数法則[1]　において、$\ m=0\ $であるとすると、
$a^{0}\cdot a^{n}=a^{0+n}=a^{n}$　である。
よって、$\boldsymbol{a^{0}=1}\ $である。

また、指数法則[1]　において、$\ m=-n\ $であるとすると、
$a^{-n}\cdot a^{n}=a^{-n+n}=a^{0}=1$　である。
よって、$a^{-n}\ $は$ a^n \ $の逆数であるから、
$\boldsymbol{a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}}$ である。

さらに、 指数法則[3]より、$\left( a^{\frac{m}{n}} \right)^{n}=a^{\frac{m}{n}\cdot n}=a^{m}$　であり、
これは$\ a^{\frac{m}{n}}\ $を$\ n\ $回掛ける($\ n\ $乗する)と$\ a^m\ $になることを表している。
よて、$\boldsymbol{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}}$　である。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

以下の空欄を埋めよ。
(1)　$A=3x^2-1+2x,\ B=5-2x^2-4x,\ C=x-3+x^2\ $とする。
　　このとき、$2A-[ 4\{ B-3(A-C)\} -2(A-B)]=\boxed{( ⅰ )}$
(2)　$(2x-3+x^3)(1+2x^2-4x)=\boxed{(ⅱ)}$
(3)　$(2^3)^2\cdot 2^{2^{2^{2}}}\cdot 2^{4^{\frac{1}{2}}}=\boxed{(ⅲ)}$

≪解答・解説≫

(1)　このような計算を行う際に、いきなり代入してしまうのは悪手である。まずは、$A,\ B,\ C\ $の式として整理し、その後代入するのが基本である。
$\begin{eqnarray} &\quad & 2A-[ 4\{ B-3(A-C)\} -2(A-B)]\\ &=&2A-4\{ B-3(A-C)\}+2(A-B)\\ &=& 2A-4B+12(A-C)+2A-2B\\ &=& 2A-4B+12A-12C+2A-2B\\ &=& 16\textcolor{skyblue}{A}-6\textcolor{violet}{B}-12\textcolor{limegreen}{C}\\ &=& 16(\textcolor{skyblue}{3x^2+2x-1})-6(\textcolor{violet}{5-2x^2-4x})-12(\textcolor{limegreen}{x-3+x^2})\\ &=& \textcolor{skyblue}{48x^2+32x-16}\textcolor{violet}{+12x^2+24x-30}\textcolor{limegreen}{-12x^2-12x+36}\\ &=& \boldsymbol{48x^2+44x=10} \quad \cdots \cdots (ⅰ) \end{eqnarray}$

(2)　いきなり分配法則を持ちいて計算しても解けるが、あらかじめ括弧内を降べきの順に整理してからのほうがミスの可能性を下げることができる。
$\begin{eqnarray} &\quad & (2x-3+x^3)(1+2x^2-4x)\\ &=& (\textcolor{skyblue}{x^3+2x-3})(\textcolor{violet}{2x^2-4x+1})\\ &=& \textcolor{skyblue}{x^3}(\textcolor{violet}{2x^2-4x+1})\textcolor{skyblue}{+2x}(\textcolor{violet}{2x^2-4x+1})\textcolor{skyblue}{-3}(\textcolor{violet}{2x^2-4x+1})\\ &=& 2x^5-4x^4+x^3+4x^3-8^2+2x-6x^2+12x-3\\ &=& \boldsymbol{2x^5-4x^4+5x^3-14x^2+14x-3} \quad \cdots \cdots (ⅱ) \end{eqnarray}$

(3)　実際に何個掛け合わせていくべきなのかをきちんと把握することがミスを防ぐ。表記の微妙な違いにしっかり意識を向けて扱いに慣れていってほしい。
$\begin{eqnarray} &\quad & (2^3)^2\cdot 2^{\textcolor{skyblue}{{2^{2^{2}}}}}\cdot 2^{\textcolor{violet}{4^{\frac{1}{2}}}}\\ &=& (2^3)^2\cdot 2^{\textcolor{skyblue}{2^4}}\cdot 2^{\textcolor{violet}{\sqrt[2]{4^{1}}}}\\ &=& 2^{3\cdot 2}\cdot 2^\textcolor{skyblue}{16}\cdot 2^{\textcolor{violet}{\sqrt[]{2^{2}}}}\\ &=& 2^6 \cdot 2^\textcolor{skyblue}{16} \cdot 2^{\textcolor{violet}{2}}\\ &=& 2^{6+\textcolor{skyblue}{16}+\textcolor{violet}{2}}\\ &=& \boldsymbol{2^{24}} \quad \cdots \cdots (ⅲ)\\ (\ &=& 16777216\ ) \end{eqnarray}$