極限値の計算

極限値の計算

関数 $f(x)$ において、$x$が$a$と異なる値をとりながら$a$に限りなく近づくとき、$f(x)$が一定値$A$に限りなく近づくとする。
$A$を、$x→a$のときの“$f(x)$の極限値”といい、

と表す。（このとき、$f(x)$は$A$に収束するという。）

◎具体的な極限値の求め方を、以下の例題で確認してみよう。

例題

次の極限値を求めよ。

$\displaystyle\text{(1)}　 \lim_{x→1}⁡(x^2-3x+5)$

$\displaystyle\text{(2)}　 \lim_{x→2}⁡\frac{x^3-8}{x-2}$

$\displaystyle \text{(3)}\quad f(x)=\begin{cases} 2x^2+1 & (x\neq\pm1)\\ x+1 & (x=\pm1) \end{cases}$
$\displaystyle \hspace{20pt} のとき、\lim_{x \to 1}f(x) $

$\displaystyle\text{(4)}　\lim_{x \to 2}\frac{{\sqrt{x+2}}-2}{(x-2)^2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+1} \right) $

≪解答・解説≫

$\displaystyle\begin{align} \text{(1)}　 \lim_{x→1}⁡(x^2-3x+5)=\textcolor{blue}{1}^2-3 \cdot \textcolor{blue}{1}+5= \boldsymbol{3} \end{align}$

$\displaystyle\begin{align} \text{(2)}　 \lim_{x→2}⁡\frac{x^3-8}{x-2}&=\lim_{x→2}⁡\frac{(x^2+2x+4)(x-2)}{x-2}\\ &= \lim_{x→2}⁡(x^2+2x+4)\\ &=\textcolor{blue}{2}^2+2 \cdot \textcolor{blue}{2}+4= \boldsymbol{12} \end{align}$

$\displaystyle\begin{align} \text{(3)}　 f(x)=& \begin{cases} 2x^2+1 & (x\neq\pm1)\\ x+1 & (x=\pm1) \end{cases} \qquad のとき、\\ \lim_{x \to 1}f(x)&=\textcolor{limegreen}{\lim_{x→1}⁡(x^2+1)}=2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2+1= \boldsymbol{3} \end{align}$

$\displaystyle\begin{align} \text{(4)}\quad &\lim_{x→2}⁡\frac{{\sqrt{x+2}}-2}{(x-2)^2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{x+1} \right)\\ =& \lim_{x→2}⁡\frac{{\sqrt{x+2}}-2}{x-2} \cdot \frac{1}{x-2}\cdot \textcolor{limegreen}{\frac{(x+1)-3}{3(x+1)}}\\ =& \lim_{x→2}⁡\frac{{(\sqrt{x+2}}-2)\textcolor{limegreen}{(\sqrt{x+2}+2)}}{(x-2)\textcolor{limegreen}{(\sqrt{x+2}+2)}} \cdot \frac{1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3(x+1)}\\ =& \lim_{x→2}⁡\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\cdot \frac{1}{3(x+1)}\\ =& \lim_{x→2}⁡\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\cdot \frac{1}{3(x+1)}\\ =& \frac{1}{\sqrt{\textcolor{blue}{2}+2}+2}\cdot \frac{1}{3(\textcolor{blue}{2}+1)}\\ =& \boldsymbol{\frac{1}{36}} \end{align}$

(1) のように、極限値は基本的に $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) =f(a)$となる。($x=a$を代入するだけで求まる。)

(2)(4)のように、$x=a$を代入すると $\frac{0}{0}$ となる形を不定形 という。不定形になる場合、因数分解・通分・有理化などにより”約分”することで不定形にならない形に変形することが必要である。

(3)では、あくまでも $x≠1$ である。ついつい $\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)=\lim_{x \to 1}(x+1)=2$ としてしまいがちなので、十分注意してほしい。$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ は『 $x \to a$のときに、$f(x)$ が近づく目標』であり $\textcolor{red}{f(a)とは限らない}$ことをしっかりと認識しておこう。