展開の公式

ここでは、暗記すべき公式をまとめておく。中学範囲のものから、やや応用的なものまで様々であるが、確実にすべて習得してほしい。実際の問題では、『公式の形であることに気付けるか』が勝負になる。

展開公式

$\begin{eqnarray} &[1]&\quad　m(a+b)=ma+mb\\ &[2]& \quad\left\{ \begin{array}{1} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{array} \right.\\ &[3]&\quad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ &[4]&\quad (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\\[8pt] &[5]&\quad \textcolor{cornflowerblue}{(ax+by)(cx+dy)}=\textcolor{hotpink}{acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2}\\[8pt] &[6]&\quad\left\{ \begin{array}{1} \textcolor{cornflowerblue}{(a+b)^3}=\textcolor{hotpink}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\\ \textcolor{cornflowerblue}{(a-b)^3}=\textcolor{hotpink}{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3} \end{array} \right.\\ &[7]& \quad\left\{ \begin{array}{1} \textcolor{cornflowerblue}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\textcolor{hotpink}{a^3+b^3}\\ \textcolor{cornflowerblue}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\textcolor{hotpink}{a^3-b^3} \end{array} \right.\\[8pt] &[8]&\quad \textcolor{cornflowerblue}{(a+b+c)^2}=\textcolor{hotpink}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\\ &[9]&\quad \textcolor{cornflowerblue}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}=\textcolor{hotpink}{a^3+b^3+c^3-3abc}\\ \end{eqnarray}$

※[1]～[4]は中学で学習している。忘れているものがあれば必ず頭に入れておかなければならない。
※[5]は[4]を一般化したものである。
※[6]以降は教科書の発展(又は数Ⅱ)の内容であるが、ここで押さえてしまいたい。暗算できるものが増え、計算時間だけでなく計算ミスも減らせるはずである。

一見して公式の形でない場合にも、いきなり展開を始めたりはせず、次の2点に意識を向けてもらいたい。

➀　式をしっかりと確認し、共通部分を一つの塊ととらえる（置き換える）
➁　計算の順序を変えることで計算量を減らす

いずれも、相応の慣れが必要となるので、しっかりと演習を積むことが肝心である。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

次の式を展開せよ。
$(1)\quad (2x-3y)(4x-5y)$
$(2)\quad (x+2y)^3$
$(3)\quad (3x+y+2z)^2$
$(4)\quad (x+y-z)(x-y+z)$
$(5)\quad (x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$
$(6)\quad (2x-y-1)(4x^2+y^2+2xy+2x-y+1)$
$(7)\quad (x+2y)^2 (3x-6y)^2$
$(8)\quad (2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$
$(9)\quad (x+y+3z)^3-(y+3z-x)^3-(x-y+3z)^3-(x+y-3z)^3$

≪解答・解説≫

(1) ※公式[5]より
$\begin{eqnarray}&\quad &(2x-3y)(4x-5y)\\ &=&2\cdot 4x^2+\{2\cdot (-5)+(-3)\cdot 4\}xy+(-3)\cdot (-5)y^2\\ &=&\boldsymbol{8x^2-22xy+15y^2} \end{eqnarray}$


(2) ※公式[6]より
$\begin{eqnarray} &\quad &(x+2y)^3\\ &=&x^3+3\cdot 2x^2y+3\cdot 2^2xy^2+2^3y^3\\ &=&\boldsymbol{x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3} \end{eqnarray}$


(3) ※公式[8]より
$\begin{eqnarray} &\quad &(3x+y+2z)^2\\ &=&(3x)^2+y^2+(2z)^2+2\cdot (3x)y+2\cdot y(2z)+2\cdot (2z)(3x)\\ &=&\boldsymbol{9x^2+y^2+4z^2+6xy+4yz+12zx} \end{eqnarray}$


(4) ※公式[3]で$a=x,b=(y-z)$として利用
$\begin{eqnarray} &\quad &(x+y-z)(x-y+z)\\ &=&\{ x+\textcolor{cornflowerblue}{(y-z)}\}\{x-\textcolor{cornflowerblue}{(y-z)}\}\\ &=&x^2-(y-z)^2\\ &=&\boldsymbol{x^2-y^2+2yz-z^2} \end{eqnarray}$


(5) ※“$(-1)+(-3)$”と“$2+(-6)$”から“$-4$”が作れることを見越し、2行目のように並べ替える。
$\begin{eqnarray} &\quad &(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)\\ &=&(x\textcolor{cornflowerblue}{-1})(x\textcolor{cornflowerblue}{-3})(x+\textcolor{limegreen}{2})(x\textcolor{limegreen}{-6})\\ &=&(x^2\textcolor{cornflowerblue}{-4}x+3)(x^2\textcolor{limegreen}{-4}x-12)\\ &=&\{(x^2-4x)+3\}\{(x^2-4x)-12\}\\ &=&(x^2-4x)^2-9(x^2-4x)-36\\ &=&\boldsymbol{x^4-8x^3+7x^2+36x-36} \end{eqnarray}$


(6) ※後ろの括弧内を2行目のように並べ替えることで、公式[9]の形になる。
$\begin{eqnarray} &\quad &(2x-y-1)(4x^2+y^2+2xy+2x-y+1)\\ &=&(2x-y-1)\textcolor{cornflowerblue}{(4x^2+y^2+1+2xy-y+2x)}\\ &=&(2x-y-1)\\ &\quad &\quad \textcolor{cornflowerblue}{\{(2x)^2+(-y)^2+(-1)^2-(2x)(-y)-(-y)(-1)-(-1)(2x)\} }\\ &=&(2x)^3+(-y)^3+(-1)^3-3\cdot (2x)(-y)(-1)\\ &=&\boldsymbol{8x^3-y^3-1-6xy} \end{eqnarray}$


(7) ※まず、後ろの括弧内を分配法則により2行目のように変形する。その後、3行目のように掛け算する順序を入れ替える。これにより、公式[3]，[2]を順に使うことができる。
$\begin{eqnarray} &\quad &(x+2y)^2 (3x-6y)^2\\ &=&(x+2y)^2\textcolor{cornflowerblue}{\{3(x-2y)\}^2}\\ &=&\textcolor{cornflowerblue}{3^2}\{(x+2y)\textcolor{cornflowerblue}{(x-2y)}\}^2\\ &=&9(x^2-4y^2)^2\\ &=&9(x^4-8x^2 y^2+16y^4)\\ &=&\boldsymbol{9x^4-72x^2 y^2+144y^4} \end{eqnarray}$


(8) ※公式[7]より
$\begin{eqnarray} &\quad &(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)\\ &=&(2x)^3-(3y)^3\\ &=&\boldsymbol{8x^3-27y^3} \end{eqnarray}$


(9) ※和の2乗と差の2乗，和の3乗と差の3乗はそれぞれ組み合わせて計算すると一部が消去され、簡潔な式になる。
$\begin{eqnarray} &\quad &(x+y+3z)^3-(y+3z-x)^3-(x-y+3z)^3-(x+y-3z)^3\\ &=&\textcolor{cornflowerblue}{\{(y+3z)+x\}^3}-\textcolor{limegreen}{\{(y+3z)-x\}^3}-\textcolor{palevioletred}{\{x-(y-3z)\}^3}-\textcolor{mediumorchid}{\{x+(y-3z)\}^3}\\ &=&\textcolor{cornflowerblue}{\{\cancel{(y+3z)^3}+3x(y+3z)^2+\bcancel{3x^2(y+3z)}+x^3\} }\\ &\quad & \quad -\textcolor{limegreen}{\{\cancel{(y+3z)^3}-3x(y+3z)^2+\bcancel{3x^2(y+3z)}-x^3\} }\\ &\quad & \quad -\textcolor{palevioletred}{\{x^3-\xcancel{3x^2(y-3z)}+3x(y-3z)^2-\cancel{(y-3z)^3}\} }\\ &\quad & \quad -\textcolor{mediumorchid}{\{x^3+\xcancel{3x^2(y-3z)}+3x(y-3z)^2+\cancel{(y-3z)^3}\} }\\ &=&6x(y+3z)^2+\cancel{2x^3}-\cancel{2x^3}-6x(y-3z)^2\\ &=&6x\{(y+3z)+(y-3z)\}\{(y+3z)-(y-3z)\}\\ &=&6x\cdot 2y\cdot 6z\\ &=&\boldsymbol{72xyz} \end{eqnarray}$
※4行目から5行目の計算で因数分解の公式をいったん用いている。$a^2-b^2$の計算をする際に、$a+b$、$a-b$が簡単になる場合に非常に効果的なのでぜひ慣れておいてほしい。