2重根号

2重根号とその外し方

$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ のように、根号（$\sqrt{\phantom{0}}$）の中に根号が存在するものを、2重根号という。
2重根号は意外とよく出てくるが、このままでは計算をそれ以上進めることができない。そこで、以下に示すような公式により、2重である状態を解消する必要がある。

2重根号を外す公式

2重根号を外す公式

$\boldsymbol{\textcolor{limegreen}{a\gt b\gt 0}}$ のとき、

$\boldsymbol{\textcolor{hotpink}{\sqrt{(a+b)\pm \textcolor{red}{2}\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}}$　（複号同順）

2重根号を外すときに使うのはこの公式だけであり、手順は

[1]　中身の根号の前を無理やりにでも $\textcolor{red}{2}$ にする。
[2]　$a+b$, $ab$ の両方の値を満たすように、$a$, $b$ を探して公式に当てはめる。

の2段階である。

公式の導出

ここで、この公式がどのように出てくるか確認してみたい。

ここで基本となるのは $(A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+b^2$ である。
この展開公式で $A=\sqrt{a}$, $B=\sqrt{b}$ とすると、$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a\pm 2\sqrt{ab}+b$ となる。
この因数分解をルートの中で行っているのが、2重根号を外す作業である。

実際にやってみると次のようになる。

$\begin{eqnarray} \sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}} &=& \sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}\\[5pt] &=& \left| \sqrt{a}\pm\sqrt{b} \right|\end{eqnarray}$

ここで、$\textcolor{limegreen}{a\gt b\gt 0}$ であるとすると
$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\gt 0$である。

$\therefore\quad \boldsymbol{\textcolor{hotpink}{\sqrt{(a+b)\pm \textcolor{red}{2}\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}}$　（複号同順）

（$\sqrt{A^2}$ や $| \phantom{0} |$ の外し方が不安な人はこちらも確認してほしい。⇒平方根, 絶対値とその性質）

例題に挑戦しよう

≪問題≫

次の式を簡単にせよ。
(1)　$\sqrt{12+2\sqrt{11}}$

(2)　$\sqrt{7-2\sqrt{6}}$

(3)　$\sqrt{5+\sqrt{24}}$

(4)　$\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

(5)　$\sqrt{9-3\sqrt{5}}$

(6)　$\dfrac{2}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$

(7)　$\sqrt{4\sqrt{14-6\sqrt{5}}}$

≪解答・解説≫

※(1)～(5)は基本的な取り扱いの問題である。確実にできるようになっておきたい。
※$\textcolor{limegreen}{\sqrt{\phantom{0}}}$ の部分については、公式がきちんと頭に入っていればどんどん飛ばして構わない。
(1)
$\begin{eqnarray} \sqrt{12+2\sqrt{11}}&=&\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(11+1)}+2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{11\cdot 1}}}\\[5pt] &=&\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{11}+\sqrt{1})^2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{11}+1} \end{eqnarray}$


(2)
$\begin{eqnarray} \sqrt{7-2\sqrt{6}}&=&\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(6+1)}-2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{6\cdot 1}}}\\[5pt] &=&\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{1})^2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{6}-1} \end{eqnarray}$


(3)
$\begin{eqnarray} \sqrt{5+\sqrt{24}}&=&\sqrt{5+2\sqrt{6}}\\[5pt] &=&\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(3+2)}+2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{3\cdot 2}}}\\[5pt] &=&\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \end{eqnarray}$


(4)
$\begin{eqnarray} \sqrt{6-4\sqrt{2}}&=&\sqrt{6-2\sqrt{8}}\\[5pt] &=&\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(4+2)}-2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{4\cdot 2}}}\\[5pt] &=&\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{2})^2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray}$


(5)
$\begin{eqnarray} \sqrt{9-3\sqrt{5}}&=&\sqrt{\dfrac{18-6\sqrt{5}}{2}}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{18-2\sqrt{45}}{2}}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{\textcolor{palevioletred}{(15+3)}-2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{15\cdot 3}}}{2}}\\[5pt] &=&\dfrac{\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}}}{\sqrt{2}}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{2}} \end{eqnarray}$


(6)
$\begin{eqnarray} \dfrac{2}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}&=&\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{2}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(5+1)}+2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{5\cdot 1}}}}{\sqrt{2}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{\dfrac{\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2}}}{\sqrt{2}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot\textcolor{limegreen}{\sqrt{2}}}{\dfrac{\sqrt{5}+1}{\cancel{\sqrt{2}}}\cdot\cancel{\textcolor{limegreen}{\sqrt{2}}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+1}\\[5pt] &=&\dfrac{2\sqrt{2}(\textcolor{hotpink}{\sqrt{5}-1})}{(\sqrt{5}+1)(\textcolor{hotpink}{\sqrt{5}-1})}\\[5pt] &=&\dfrac{2(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{4}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}} \end{eqnarray}$


(7)
$\begin{eqnarray} \sqrt{4\sqrt{14-6\sqrt{5}}}&=&\sqrt{4\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(9+5)}-2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{9\cdot 5}}}}\\[5pt] &=&\sqrt{4\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{5})^2}}}\\[5pt] &=&\sqrt{4(3-\sqrt{5})}\\[5pt] &=&\sqrt{12-2\sqrt{20}}\\[5pt] &=&\sqrt{\textcolor{palevioletred}{(10+2)}-2\sqrt{\textcolor{cornflowerblue}{10\cdot 2}}}\\[5pt] &=&\textcolor{limegreen}{\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2}}\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{10}-\sqrt{2}} \end{eqnarray}$