割り算への微分の利用

$f(x)=2x^{n+1}+3x^n\ $を$\ (x-1)^2\ $で割ったときの余りについて考えてみよう。

商を$Q(x)$，余りを$\ p+q\ $とすると、$$\textcolor{deepskyblue}{2x^{n+1}+3x^n=(x-1)^2\cdot Q(x)+px+q}　・・・・・・①$$ここで、①の両辺をそれぞれ$x$で微分すると、$$\textcolor{deepskyblue}{2(n+1)x^n+3nx^{n-1}=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+p}　・・・・・・②$$①，➁の両辺に$x=1$を代入すると、$\ 2+3=p+q,\ 2(n+1)+3n=p\ $
よって、$p=5n+2\ (=f'(1)),\ q=-5n+3\ (=f(1)-1\cdot f'(1))・・・・・・(※)$
∴　求める余りは$\ \boldsymbol{(5n+2)x-5n+3}\ $である。

このように、『恒等式は微分しても恒等式である』ということを整式の割り算へ利用できることをぜひ覚えておいてほしい。

次に、割り切れるための条件を考えてみよう。

整式$f(x)$が$(x-a)^2$で『割り切れる』というのは、『余りが恒等的に$\ 0\ $である』ということである。
よって、(※)より　$p=f'(a)=0,\ q=f(a)-af'(a)=0$

　つまり、$\textcolor{deepskyblue}{f(a)=f'(a)=0\ \Leftrightarrow \ f(x)=0 が x=a を重解に持つ}$ことが、整式$f(x)$が$(x-a)^2$で割り切れるための必要十分条件である。