微分方程式

微分方程式
例題に挑戦しよう

微分方程式( $f (x)$ と $f^{'} (x)$ の等式)を解くのは基本的にはかなり難しいものである。しかし、そこに整式のという条件が付くと簡単に解くことが可能となる。
$f (x)$ を文字でおき、恒等式の係数の問題に帰着させればよいのである。

以下の具体例で確認してみよう。

例　 $(x - 1) f^{'} (x) - 2 f (x) = 4, f (0) = 0$ であるとき、 $f (x)$ を求めよ。

与式より、 $(x - 1) f^{'} (x) = 2 f (x) + 4 ・・・・・・ ①$

[step 1] 定関数かどうかの確認
今、 $f (x) = c (c ：定数)$ とすると、 $f^{'} (x) = 0$ であるとき➀から
$0 = 2 c + 4$ すなわち $c = 2$ となるが、これは $f (0) = 0$ に反する。
よって、 $f (x)$ は定関数ではない。

[step 2] 次数の決定を目指す
次に、 $f (x)$ の最高次数の項が $a x^{n} (a \neq 0)$ であるとすると
①の左辺の最高次数の項： $a n x^{n}$
①の右辺の最高次数の項： $2 a x^{n}$
である。
よって、 $2 a = a n \Leftrightarrow n = 2$ である。

[step 3] 関数を確定する
これらと $f (0) = 0$ より
$f (x) = x^{2} + b x, f^{'} (x) = 2 a x + b$ とできるので、①より
$\begin{array}{rcl} (x - 1) (2 a x + b) & = & 2 (a x^{2} + b x) + 4 \\ 2 a x^{2} + (b - 2 a) x - b & = & 2 a x^{2} + 2 b x + 4 \end{array}$
よって、係数を比較して $a = 2, b = - 4$
∴　 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x$ である。

手順を確認できたら、以下の例題にも挑戦してみてほしい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

整式 $f (x)$ が $(x + 1) f^{'} (x) - 3 f (x) + 2 x - 1 = 0, f (0) = 1$ を満たすとき、 $f (x)$ を求めよ。

≪解答・解説≫

$f (x)$ の最高次数の項が $a x^{n} (a \neq 0)$ であるとする。
与式より、 $(x + 1) f^{'} (x) = 3 f (x) - 2 x + 1 ・・・・・・ ①$

[1] $n = 1$ のとき
①の両辺で最高次数の係数を比較すると
$a = 3 a - 2$ より $a = 1$ となる。
このとき、 $f (0) = 1$ より $f (x) = x + 1$ となるが、このとき①より $x + 1 = x + 4$ となるので、これは不適である。

[2] $n \neq 1$ のとき
①の左辺の最高次数の項： $a n x^{n}$
①の右辺の最高次数の項： $3 a x^{n}$
であるから、 $a n = 3 a \Leftrightarrow n = 3$ である。

これと $f (0) = 1$ より
$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1, f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
であるから、①より
$\begin{array}{rcl} (x + 1) (3 a x^{2} + 2 b x + c) & = & 3 (a x^{3} + b x^{2} + c x + 1) - 2 x + 1 \\ (3 a + 2 b) x^{2} + (2 b + c) x + c & = & 3 b^{2} + (3 c - 2) x + 4 \end{array}$
よって、係数を比較して
$a = 1, b = 3, c = 4$
∴　 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + 4 x + 1$ である。