微分係数の定義と意味

微分係数の定義と意味

関数$y=f(x)$で、$x$の値が$a$から$b$まで変化するとき、$y$の変化量に対する$x$の変化量の割合 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad \qquad ・・・・・・➀$$ を平均変化率といい、2点$A(a, f(a)), \; B(b,f(b))$を通る直線の傾きを表す。

➀が$b \to a$において極限値をもつとき、この極限値を$x=a$における微分係数といい$\textcolor{blue}{f'(x)}$と表す。

この時、図形的には点$A(a, f(a))$ に点$B(b, f(b))$ が限りなく近づき、直線ABは『点$A(a, f(a))$を通り、傾きが$f'(a)$である直線 』に限りなく近づく。この直線 を$y=f(x)$の点$A$ における接線、点$A$をこの接線の接点と呼ぶ。

つまり、微分係数 $f'(a)$は点 $A(a, f(a))$における接線の傾きを表している。

※　接線の傾きを$f'(a)$と定義しているのではなく、$f'(a)$を傾きとする直線を接線と定義していることに注意してほしい。

◎次の例題で微分係数の求め方をマスターしよう。

例題

次の問いに答えよ。

(1) $f(x)=2x^2-5x+4$における微分係数$f'(3)$を定義に従って求めよ。


(2) $f'(a)$が存在するとき、以下の極限を$a,f(a),f'(a)$を用いて表せ。

$\hspace{8pt} ➀ \quad\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+3h)-f(a)}{h}$

$\hspace{8pt} ➁ \quad\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+5h)-f(a-2h)}{h}$

$\hspace{8pt} ➂ \quad\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{a^2 f(x)-x^2 f(a)}{x-a}$

≪解答・解説≫

極限計算においては以下が成り立つ。
$\displaystyle \begin{eqnarray} \hspace{10pt} & \ & \small{\lim_{x \to a}f(x)=\alpha， \lim_{x \to a}g(x)=\beta ， k,l：定数 \hspace{8pt} であるとき、}\\[10pt] &Ⅰ& \small{\hspace{8pt}\textcolor{red}{\lim_{x \to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha +l\beta}}\\[5pt] &Ⅱ& \small{\hspace{8pt}\textcolor{red}{\lim_{x \to a}\{f(x)\cdot g(x)\}=\alpha \beta}}\\[5pt] &Ⅲ& \small{\hspace{8pt}\textcolor{red}{\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}}\hspace{5pt}(\beta \neq 0)} \end{eqnarray}$

$\displaystyle\begin{eqnarray} (1)\qquad f'(3)&=&\textcolor{blue}{\lim_{h \to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}} \\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}\frac{2(3+h)^2-5(3+h)+4-(2\cdot 3^2-5\cdot 3+4)}{h}\\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}\frac{2h^2+7h+7-(8-15+4)}{h}\\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}\frac{h(2h+7)}{h}\\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}(2h+7)\\[5pt] &=&\boldsymbol{7} \end{eqnarray}$

(2)
$\displaystyle\begin{eqnarray} \hspace{8pt}➀ \quad \lim_{h \to 0}\frac{f(a+3h)-f(a)}{h}&=&\lim_{h \to 0}\textcolor{blue}{3}\cdot\frac{f(a+3h)-f(a)}{\textcolor{blue}{3}h}\\[5pt] &=&\boldsymbol{3f'(a)} \end{eqnarray}$

$\displaystyle\begin{eqnarray} \hspace{8pt}➁ &\quad &\lim_{h \to 0}\frac{f(a+5h)-f(a-2h)}{h}\\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}\frac{f(a+5h)\textcolor{limegreen}{-f(a)+f(a)}-f(a-2h)}{h}\\[5pt] &=&\lim_{h \to 0}\frac{f(a+5h)-f(a)-\textcolor{limegreen}{f(a-2h)-f(a)}}{h}\\[5pt] &=& 5\cdot\lim_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{f(a+5h)-f(a)}{5h}}-(-2)\cdot\lim_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{f\{a+(-2h)\}-f(a)}{-2h}}\\[5pt] &=& 5f'(a)+2f'(a)\\[5pt] &=&\boldsymbol{7f'(a)} \end{eqnarray}$

$\displaystyle\begin{eqnarray} \hspace{8pt} ➂ &\quad & \lim_{x \to a}\frac{a^2 f(x)-x^2 f(a)}{x-a}\\[5pt] &=&\lim_{x \to a}\frac{a^2 f(x)\textcolor{limegreen}{-a^2 f(a)+a^2 f(a)}-x^2 f(a)}{x-a}\\[5pt] &=&\lim_{x \to a}\left\{a^2\cdot\textcolor{blue}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}-f(a)\cdot\textcolor{blue}{\frac{x^2-a^2}{x-a}}\right\}\\[5pt] &=&a^2\cdot\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a)\cdot\lim_{x \to a}(x+a)\\[5pt] &=&a^2f'(a)-f(a)\cdot (a+a)\\[5pt] &=&\boldsymbol{a^2f'(a)-2af(a)} \end{eqnarray}$