分数と小数の相互変換

分数と小数の相互変換

ここでの学習内容は、中学でも学習している。重要事項を整理しておくので、抜けている内容はしっかりと確認しておいてほしい。

実数（有理数と無理数）

実数
1つの数直線上に表すことができる数。有理数と無理数が含まれる。
有理数
整数 $m$, $n(n\ne 0)$を用いて、分数 ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ の形で表すことができる数。整数、有限小数、循環小数が含まれる。
　※有理数同士の和・差・積・商（ $0$ で割る場合は考えない）は有理数となる。
整数
$0$ 及び $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$ の総称。
自然数
整数のうち『正の数』であるもの。
　※高校範囲において $0$ は自然数に含まれない。
有限小数
有限桁の数字で表される小数。
　 例　$0.125,1.25,0.1$ など
無限小数
無限桁の数字で表される小数。
循環小数
無限小数のうち、同じ数字の列が無限に繰り返されるような小数。循環する部分の最初と最後の数の上に“・”をつけて表す。
　例　$0.\dot{3},0.1\dot{2}\dot{3},1.\dot{2}3\dot{4}$ など
無理数
無限小数のうち、循環小数でないもの。非循環小数と呼ばれることもある。
　 例　$\pi =3.14\cdots ,\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ など

分数と小数の相互変換

有理数の範囲において、小数と分数は互いに変換できることは既に確認した。
小数から分数への変換作業は慣れていないと意外と苦戦してしまうことがある。例題を通してしっかりと慣れておいてほしい。
小数から分数への変換では、小数部分がうまく消えるように ${10}^n$ 倍して引き算することで行う。

例題に挑戦しよう

≪例題≫

[1]　次の分数を小数で表せ。
(1)　${\displaystyle \frac{17}{16}}$

(2)　${\displaystyle \frac{4}{9}}$

(3)　${\displaystyle \frac{3}{7}}$


[2]　次の小数を分数で表せ。
(1)　$0.26$
(2)　$0.\dot{7}$
(3)　$1.\dot{2}\dot{4}$
(4)　$4.3\dot{3}7\dot{8}$

≪解答・解説≫

[1]※筆算で割り算するだけである。
(1)
　${\displaystyle \frac{17}{16}}=\mathbf{1.0625}$

(2)
　$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{4}{9}}& =& 0.444\cdots \cdots \\ & =& \mathbf{0.}\dot{\mathbf{4}}\end{array}$

(3)
　$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{3}{7}}& =& 0.428571428571\cdots \cdots \\ & =& \mathbf{0.}\dot{\mathbf{4}}\mathbf{2857}\dot{\mathbf{1}}\end{array}$
※分数が割り切れる条件は“分母の素因数が $2$, $5$ のみ”である。これを知っていることで、循環するか割り切れるかをさっと判断でき、検算の役にも立つ。


[2]
(1)
　$\begin{array}{rcl}0.26& =& {\displaystyle \frac{26}{100}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathbf{13}}{\mathbf{50}}}\end{array}$

(2)　$x=0.\dot{7}$とおくと
$\begin{array}{r}10x=7.77\cdots \cdots \\ \underset{―}{-\phantom{00}x=0.77\cdots \cdots }\\ 9x=7\phantom{.00\cdots \cdots }\end{array}$

　$0.\dot{7}={\displaystyle \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{9}}}$


(3)　$x=1.\dot{2}\dot{4}$とおくと
$\begin{array}{r}100x=124.2424\cdots \cdots \\ \underset{―}{-\phantom{000}x=\phantom{00}1.2424\cdots \cdots }\\ 99x=123\phantom{.0000\cdots \cdots }\end{array}$

　$\begin{array}{rcl}1.\dot{2}\dot{4}& =& {\displaystyle \frac{123}{99}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathbf{41}}{\mathbf{33}}}\end{array}$


(4)　$x=4.3\dot{3}7\dot{8}$とおくと
$\begin{array}{r}10000x=43378.378378\cdots \cdots \\ \underset{―}{-\phantom{000}10x=\phantom{000}43.378378\cdots \cdots }\\ 9990x=43335\phantom{.000000\cdots \cdots }\end{array}$

　$\begin{array}{rcl}4.3\dot{3}7\dot{8}& =& {\displaystyle \frac{43335}{9990}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathbf{321}}{\mathbf{74}}}\end{array}$