対称式と同じく、交代式についての記述も、教科書では非常に軽い。しかし、受験において対称式とともに非常に重要である。是非きちんと理解をしておいてほしい。
交代式
交代式の定義
2変数対称式 2つの変数を入れ替えると符号が逆になる(元の式を$-1$倍した式になる)式
【例】 $x-y=-(y-x)$, $x^3y-xy^3=(y^3x-yx^3)$ など
3変数対称式 3つの変数のうち、どの2つを入れ替えても符号が逆になる(元の式を$-1$倍した式になる)式
【例】 $(x-y)(y-z)(z-x)=-(y-x)(x-z)(z-y)$, $x^2(y−z)+y^2(z−x)+z^2(x−y)=x^2(z-y)+z^2(y-x)+y^2(x-z)$ など
当然、4変数以上の式も存在するが、試験で見かけることほぼない。
交代式の性質
交代式には、以下のような性質がある。
[1] 交代式・対称式の積は以下のようになる。
$\begin{eqnarray} \qquad\left\{ \begin{array}{l} \textcolor{palevioletred}{(交代式)}\cdot \textcolor{palevioletred}{(交代式)}=\textcolor{cornflowerblue}{(対称式)}\\ \textcolor{palevioletred}{(交代式)}\cdot \textcolor{cornflowerblue}{(対称式)}=\textcolor{palevioletred}{(交代式)}\\ \textcolor{cornflowerblue}{(対称式)}\cdot \textcolor{cornflowerblue}{(対称式)}=\textcolor{cornflowerblue}{(対称式)} \end{array} \right. \end{eqnarray}$
[2] 交代式は2乗すると必ず対称式になる。 特に、$\textcolor{hotpink}{(x-y)^2=(x+y)^2-4xy}$ は非常によく利用する。
[3] 2変数交代式は必ず$(x-y)$を因数に持ち、ほかの因数は対称式になる。
[4] 3変数交代式は必ず$(x-y)(y-z)(z-x)$を因数に持ち、ほかの因数は対称式になる。
例題に挑戦しよう
≪問題≫
[1] $x=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}$, $y=\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $x-y$
(2) $x^2-y^2$
(3) $x^3-y^3$
[2] $x^2-2\sqrt{2}x+1=0$ $(\ 0 \lt x \lt 1\ )$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $x^3-\dfrac{1}{x^3}$
(2) $\dfrac{x^{10}-1}{x^5}$
≪解答・解説≫
[1]※交代式の計算では、その性質から‟対称式”を用いて考えるのが普通である。そのため、あらかじめ基本対称式の値を求めておくとスムーズである。
$\begin{eqnarray} &\ &x+y\\[5pt] &=&\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}+\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\\[5pt] &=&-1\qquad \cdots\cdots➀ \end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray} &\ &xy\\[5pt] &=&\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\\[5pt] &=&-1\qquad \cdots\cdots➁ \end{eqnarray}$
(1)※今回のように、$x$, $y$ の値が与えられている場合は素直に引けばよい。
$\begin{eqnarray} &\ &x-y\\[5pt] &=&\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}-\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{2\left(1-\sqrt{5}\right)-2\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}\\[5pt] &=&\dfrac{-4\sqrt{5}}{-4}\\[5pt] &=&\boldsymbol{-\sqrt{5}} \end{eqnarray}$
【別解】※このタイプの交代式の計算では、条件として基本対称式の値のみが与えられることも多い。その場合には、以下に示すように性質[2]を利用して解答を進めることになる。
$\begin{eqnarray} &\ &(x-y)^2\\[5pt] &=&x^2-2xy+y^2\\[5pt] &=&(x+y)^2-4xy\\[5pt] &=&(-1)^2-4(-1)\qquad(\ \because\ ➀, ➁\ より\ )\\[5pt] &=&5 \end{eqnarray}$
$\therefore\ x\lt y$ より、$x-y=\boldsymbol{-\sqrt{5}}$
※実際の問題では、$x\gt y$ であったり、大小関係に拘らなかったり様々である。平方根を考えるときには、必ず解になりうる値の範囲を確認する必要がある。
※この解法が特に威力を発揮するのは[2]のような逆数型の式の場合である。
(2)※性質[3]
$\begin{eqnarray} &\ &x^2-y^2\\[5pt] &=&\textcolor{cornflowerblue}{(x+y)}\textcolor{palevioletred}{(x-y)}\\[5pt] &=&(-1)\cdot\left(-\sqrt{5}\right)\qquad(\ \because\ ➀, (1)\ より\ )\\[5pt] &=&\boldsymbol{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$
(3)※性質[3]
$\begin{eqnarray} &\ &x^3-y^3\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{(x-y)}\textcolor{cornflowerblue}{(x^2+xy+y^2)}\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{(x-y)}\textcolor{cornflowerblue}{\{(x+y)^2-xy\}}\\[5pt] &=&\left(-\sqrt{5}\right)\{(-1)^2-(-1)\}\qquad(\ \because\ ➀, ➁, (1)\ より\ )\\[5pt] &=&\boldsymbol{-2\sqrt{5}} \end{eqnarray}$
【別解】
$\begin{eqnarray} &\ &x^3-y^3\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{(x-y)^3}-3\textcolor{cornflowerblue}{xy}\textcolor{palevioletred}{(x-y)}\\[5pt] &=&\left(-\sqrt{5}\right)^3-3(-1)\left(-\sqrt{5}\right)\qquad(\ \because\ ➁, (1)\ より\ )\\[5pt] &=&\boldsymbol{-2\sqrt{5}} \end{eqnarray}$
[2]※性質[2]を使うなかでも、最もよく見かけるタイプの1つである。
条件より、$x\neq 0$ であるから、
$\begin{eqnarray} x^2-2\sqrt{2}x+1&=&0\\[5pt] x+\dfrac{1}{x}&=&2\sqrt{2}\\[5pt] \left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2&=&8\\[5pt] \therefore\ \textcolor{cornflowerblue}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}&=&\textcolor{cornflowerblue}{6} \end{eqnarray}$
また、
$\begin{eqnarray} x^2+\dfrac{1}{x^2}&=&\left( x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2=6\\[5pt] \left( x-\dfrac{1}{x}\right)^2&=&4\\[5pt] \therefore\ \textcolor{palevioletred}{x-\dfrac{1}{x}}&=&\textcolor{palevioletred}{-2}\qquad\left( \ \because\ \textcolor{hotpink}{x-\dfrac{1}{x}\lt 0}\ \right) \end{eqnarray}$
※$\ 0 \lt x \lt 1\ $ という条件がなければ $x-\dfrac{1}{x}=\textcolor{palevioletred}{\pm2}$ である。
(1)※因数分解を利用
$\begin{eqnarray} &\ &x^3-\dfrac{1}{x^3}\\[5pt] &=&\left(\textcolor{palevioletred}{x-\dfrac{1}{x}}\right)\left(\textcolor{cornflowerblue}{x^2}+x\cdot \dfrac{1}{x}\textcolor{cornflowerblue}{+\dfrac{1}{x^2}}\right)\\[5pt] &=&\textcolor{palevioletred}{-2}(\textcolor{cornflowerblue}{6}+1)\\[5pt] &=&\boldsymbol{-14} \end{eqnarray}$
【別解】※対称式の変形 $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ で $y\rightarrow -\dfrac{1}{x}$ とする。
$\begin{eqnarray} &\ &x^3-\dfrac{1}{x^3}\\[5pt] &=&\left(\textcolor{palevioletred}{x-\dfrac{1}{x}}\right)^3+3\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}\left(\textcolor{palevioletred}{x-\dfrac{1}{x}}\right)\\[5pt] &=&(\textcolor{palevioletred}{-2})^3+3\cdot 1\cdot(\textcolor{palevioletred}{-2})\\[5pt] &=&\boldsymbol{-14} \end{eqnarray}$
(2)
$\begin{eqnarray} &\ &\dfrac{x^{10}-1}{x^5}\\[5pt] &=&x^5-\dfrac{1}{x^5}\\[5pt] &=&\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)\left(\textcolor{cornflowerblue}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}\right)-\left(\textcolor{palevioletred}{x-\dfrac{1}{x}}\right)\\[5pt] &=&-14\cdot\textcolor{cornflowerblue}{6}-(\textcolor{palevioletred}{-2})\\[5pt] &=&\boldsymbol{-82} \end{eqnarray}$
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