絶対値とその性質

絶対値に関する問題を解く際には、まず絶対値をはずすことが必要である。基本的な性質をきちんと押さえていれば怖がる必要は全くない。きちんと理解して、絶対値に苦手意識を持つことがないようにしてほしい。

絶対値とその性質

数直線上における原点（$0$）から点$a$までの距離をその実数の絶対値といい$|a|$と表す。絶対値は距離を表すものであるから$|a|\geqq 0$であり、$|a|=|-a|$である。

絶対値を含む式の計算を進めるには、何とかして絶対値をはずすことが必要である。ではどのようにすれば絶対値をはずすことができるのであろうか。

この絶対値をはずすのは意外と単純である。中身が正（$+$）であればそのまま外してしまえばよく、中身が負（$-$）ならば正にすることで外すことができる。
ではどのようにすれば“負を正にする”ことができるのであろうか。絶対値の中身が$-5$ などのように具体的な負の数なら $-$ をとれば正の数にできる。しかし、 $|a|$ $(a<0)$のように見かけ上 $-$ がついていない場合はどうすればよいであろうか。答えはシンプルである。$-$ をつければよいのである。$a<0$のとき、$-a>0$ だからである。

絶対値についてまとめると以下のようになる。

$|a|\geqq 0$

$|a|=|-a|$

$\begin{array}{r}|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a>0)\\ & (\mathrm{中}\mathrm{身}\mathrm{が}\mathrm{正}\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{ま}\mathrm{ま}\mathrm{外}\mathrm{す})\\ 0& (a=0)\\ -a& (a<0)\\ & (\mathrm{中}\mathrm{身}\mathrm{が}\mathrm{負}\mathrm{な}\mathrm{ら}-\mathrm{を}\mathrm{つ}\mathrm{け}\mathrm{て}\mathrm{外}\mathrm{す})\end{array}\end{array}$

${|a|}^2=a^2$

$|a||b|=|ab|$

${\displaystyle \frac{|a|}{|b|}}=\left|{\displaystyle \frac{a}{b}}\right|$

絶対値の性質はこれだけである。
以下の例題で実際に絶対値の処理になじんでほしい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

[1]　次の式の絶対値をはずせ。
(1)　$|2\sqrt{15}-3\sqrt{7}|$

(2)　$|\pi -\sqrt{10}|+|2\sqrt{3}-\pi |$

(3)　$\left|x^2\right|$

(4)　$|\sqrt{3}-x|$

(5)　$|x-1||x-2|$

≪解答・解説≫

[1]※(4), (5) は方程式・不等式の学習内容を含む。
(1)※$2\sqrt{15}-3\sqrt{7}$ が正負のどちらであるかを考える。
$2\sqrt{15}=\sqrt{60}$, $3\sqrt{7}=\sqrt{63}$ より
$\begin{array}{rcl}& & |2\sqrt{15}-3\sqrt{7}|\\ & =& -(2\sqrt{15}-3\sqrt{7})\\ & =& \mathbf{3}\sqrt{\mathbf{7}}\mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{15}}\end{array}$

(2)※$\pi -\sqrt{10}$, $2\sqrt{3}-\pi$ がそれぞれ正負のどちらであるかを考え、絶対値をはずしてから互いを足す。
$\pi =3.14\cdots$, $\sqrt{10}=3.1622\cdots$, $2\sqrt{3}=3.464\cdots$ より
$\begin{array}{rcl}& & |\pi -\sqrt{10}|+|2\sqrt{3}-\pi |\\ & =& -(\pi -\sqrt{10})+(2\sqrt{3}-\pi )\\ & =& \mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{10}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{\pi }\end{array}$

(3)※実数の2乗は必ず正。
$\begin{array}{rcl}& & \left|x^2\right|\\ & =& {\mathit{x}}^{\mathbf{2}}(\because x^2\geqq 0)\end{array}$

(4)
$\begin{array}{rcl}& & |\sqrt{3}-x|\\ & =& \{\begin{array}{l}\sqrt{3}-x\geqq 0\mathrm{つ}\mathrm{ま}\mathrm{り}\mathit{x}\mathbf{\leqq }\sqrt{\mathbf{3}}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\\ \sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathit{x}\\ \sqrt{3}-x<0\mathrm{つ}\mathrm{ま}\mathrm{り}\mathit{x}\mathbf{>}\sqrt{\mathbf{3}}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\\ \mathit{x}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\end{array}\end{array}$

(5)
$\begin{array}{rcl}& & |x-1||x-2|\\ & =& |(x-1)(x-2)|\\ & =& \{\begin{array}{l}\mathit{x}\mathbf{\leqq }\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{\leqq }\mathit{x}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\\ {\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\\ \mathbf{1}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{<}\mathbf{2}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\\ \mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\end{array}\end{array}$