連立1次不等式

連立1次不等式
例題に挑戦しよう

中学で学習した連立方程式と似た名前であるが、解き方は異なる。
連立方程式では、2式を足したり引いたりすることで値を求めたが、連立不等式ではそれぞれの不等式を解いた共通範囲が解となる。

共通範囲を考えるときには、数直線上に図示して考えるのが確実である。図示する際には、

1．条件（各範囲）ごとに高さを変える
2．端（その数）を含む場合は黒丸 / 端（その数）を含まない場合は白丸
3．端（その数）を含む場合は直角に立ち上げる / 端（その数）を含まない場合は斜めに立ち上げる

というルールになっている。
※実際に回答するときには、3つ目はそこまで気にしなくても問題ない。しかし、一見してのわかりやすさなどを考えると、かき分ける癖をつけておく方がよい。

例題に挑戦しよう

≪問題≫

次の不等式を解け。
(1) $\begin{array}{r} {\begin{cases} 5 x - 2 > 6 x - 7 \\ x - 15 ≦ 3 - 2 x \end{cases} \end{array}$

(2) $\begin{array}{r} {\begin{cases} 4 x - 1 < 2 x - 5 \\ 2 x + 2 ≧ 3 - x \end{cases} \end{array}$

(3) $2 x - 5 < 7 x - 5 < - 3 x + 7$

≪解答・解説≫

(1)
$\begin{array}{rcl} 5 x - 2 & > & 6 x - 7 \\ 5 x - 6 x & > & - 7 + 2 \\ - x & > & - 5 \\ x & < & 5 \dots \dots ➀ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x - 15 & ≦ & 3 - 2 x \\ x + 2 x & ≦ & 3 + 15 \\ 3 x & ≦ & 18 \\ x & ≦ & 6 \dots \dots ➁ \end{array}$

$∴$ 　➀,➁の共通範囲より $x < 5$

(2)
$\begin{array}{rcl} 4 x - 1 & < & 2 x - 5 \\ 4 x - 2 x & < & - 5 + 1 \\ 2 x & < & - 4 \\ x & < & - 2 \dots \dots ➀ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2 x + 2 & ≧ & 3 - x \\ 2 x + x & ≧ & 3 - 2 \\ 3 x & ≧ & 1 \\ x & ≧ & \frac{1}{3} \dots \dots ➁ \end{array}$

$∴$ 　➀,➁の共通範囲は存在しないので、 解なし

(3)※ $A < B < C$ は、 $A < B$ , $B < C$ に分けて考える。
$2 x - 5 < 7 x - 5 < - 3 x + 7$ より、
$\begin{array}{rcl} 2 x - 5 & < & 7 x - 5 \\ 2 x - 7 x & < & - 5 + 5 \\ - 5 x & < & 0 \\ x & > & 0 \dots \dots ➀ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 7 x - 5 & < & - 3 x + 7 \\ 7 x + 3 x & < & 7 + 5 \\ 10 x & < & 12 \\ x & < & \frac{6}{5} \dots \dots ➁ \end{array}$

$∴$ 　➀,➁の共通範囲より $0 < x < \frac{6}{5}$